Bernardo Zurro
Ciemat
Introducción
En un famoso artículo con este mismo título, publicado en 1960 por el físico Eugenio Wigner, terminaba con la siguiente conclusión:
“The miracle of appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.”
Dorato. “La irrazonable eficacia de las matemáticas” significa o se refiere a su potencia descriptiva, predictiva y explicativa para tratar con las leyes del mundo natural y social; y esta potencia depende, casi exclusivamente, del hecho de que estas leyes se expresan en forma matemática, que incluyen fenómenos aislados bajo el imperio de leyes, por lo que es muy importante establecer la relación entre eficacia matemática y leyes de la naturaleza.
Una disolución de esta pregunta es la nota de que la efectividad de las matemáticas resulta de un efecto selectivo que nos hace centrarnos solamente en la evidencia del éxito, sin considerar múltiples casos de su fracaso. Otro argumento consiste en el hecho de que muy a menudo, como es el caso del cálculo en tiempos de Newton y Leibniz, algunas matemáticas se han inventado y construido con la intención clara de resolver problemas físicos, sin maravillarse del hecho de que algunas veces funcionan. Pero incluso si puede ser difícil evaluar los casos fallidos, está claro que no encontraríamos muchas ramas de la matemática pura que no tengan alguna conexión con el mundo real. En cualquier caso es aun misterioso que algunas de las consecuencias de nuestro símbolos matemáticos sean también consecuencias de los fenómenos simbolizados, como apuntó Hertz, especialmente cuando los símbolos no fueron creados con la vista puesta en sus aplicaciones. Una explicación del éxito aplicativo de las matemáticas no se puede encontrar acudiendo a posturas filosóficas sobre la ontología de los objetos matemáticos. Este problema es difícil de comprender tanto desde una postura constructivista como platónica. La primera debe explicar porqué una creación nuestra, a menudo realizada por razones subjetivas y sin propósito práctico, tiene ese poder descriptivo y capacidad predictiva, que nos permite explicar y clasificar entidades del mundo que no hemos creado. Los platónicos deben explicar porqué el mundo se conforma o es isomórfico con el reino abstracto poblado de entes y hechos matemáticos, contestando además a las objeciones usuales procedentes de la teoría causal del conocimiento.
Una vez discutida las objeciones sobre la adecuación de la pregunta, detengámonos en esta noción de eficacia. ¿Cómo aplicarla a las matemáticas? Eficacia significa en primer lugar capacidad predictiva: las matemáticas son eficaces en la medida en que sugieren la realización de experimentos u observaciones, proporcionan unos resultados numéricos que, con cierto margen de error, se ajustan a los resultados u observaciones.
Pero la eficacia puede estar ligada sólo a una capacidad retrodictiva: en este sentido, las matemáticas son eficaces porque reproducen resultados ya conocidos organizándolos en un formalismo conciso y estéticamente bello. Las matemáticas son en este caso una herramienta que sirve para salvar los fenómenos. La ilustración más clara de esta capacidad la proporciona la técnica de los mínimos cuadrados, con la que se buscan curvas que pasan lo más cerca posible de los puntos experimentales. No obstante, ni la predicción ni menos aún la retrodicción bastan para obtener una caracterización lo bastante fina / rica de los formalismos matemáticos que calificamos de eficaces. En efecto, la eficacia significa también una capacidad explicativa, y, según la incisiva expresión de René Thom, “predecir no es explicar”. Para que una teoría matemática sea realmente eficaz en ciencia, es necesario que proporcione una explicación de los fenómenos, es decir, una sucesión de inferencias que vincule su descripción con principios reconocidos como fundamentales. Por ejemplo, la teoría gauge que describe la interacción débil en física de partículas es eficaz no sólo porque predice ciertos resultados que se obtienen a la salida de los detectores, sino también porque da una explicación de la existencia misma de esta interacción relacionándola con una simetría local. Observemos que esta capacidad explicativa va unida a una capacidad unificadora: explicar es también reducir la diversidad de los fenómenos a un pequeñísimo número de principios.
¿Cuál es el papel de las matemáticas en las ciencias?
En mecánica y física, es esencial, la existencia de leyes físicas precisas lleva a modelos cuantitativos que permiten la predicción y a veces la acción. Recorriendo la jerarquía descendiente de Comte, se asiste a una degradación rápida de sus aplicaciones.
El estatuto matemático privilegiado de la física proviene de que las leyes expresadas mediante expresiones matemáticas permiten la predicción para el cálculo de algunas magnitudes. Este milagro según Wigner, merece una explicación. JM Levy-Blonde ha propuesto una que permite responder a la cuestión, las matemáticas no se aplican, ellas se implican. Las entidades de la física son seres de razón (v, F, E, q, s) que exigen las matemáticas para su definición. ¿Basta esto para explicar que esta conceptualización funcione? No, pues matematizaciones análogas en otros campos han conducido al fracaso. Las grandes leyes cuantitativas, Newton, Maxwell, han revelado la geometría del espacio-tiempo; expresan en cierta manera la invariancia estructural. Pero muchas áreas de la física macroscópica, mecánica de fluidos, física de sólidos están lejos de exhibir la admirable exactitud y rigor de las leyes fundamentales.
¿Qué es lo que permite en física la predicción, cuál es el algoritmo matemático que en último análisis permite la predicción numérica?
El principio general de la explicación para Perrin “Explicar lo visible complicado por lo invisible simple”. Así en MC el estado del universo para un observador A, se puede representar por un vector XA de un espacio vectorial E. Toda la física está contenida en la representación del grupo de equivalencias (Galileano, Lorentz) en el espacio E; (compactos en estado estacionario, lo que según el teorema de Peter-Weyl la representación es analítica). En particular, la predicción no es más que la posibilidad para un observador de comparar su visión presente con la de otro en un instante posterior. La representación hAB es necesariamente analítica. La posibilidad de deducir y predecir está pues, en el caso de la física, asociada a la naturaleza analítica del espacio ( o de los grupos de equivalencia que operan en él). La predicción y comunicación entre observador provienen del mismo problema; el hecho de que todas las entidades derivadas (número de partículas, espín, etc.) proceden de un sólo objeto matemático, la representación hG.
Las entidades derivadas en física presentan en general un carácter no local, una velocidad, una fuerza, una energía no están necesariamente localizadas, presentan una naturaleza lingüística semejante a la de un predicado, un adjetivo. La costumbre de los físicos de trabajar con entidades derivadas invariantes, les conduce a una inversión ontológica: prestarles más atención que a la morfología empírica inicial. En la medida en que la deducción se puede efectuar formalmente …
La ciencia que se ha practicado en cualquier época presupone una concepción metafísica, y está lejos de ser un conocimiento sin supuestos. El científico auténtico se diferencia del creyente religioso (lo que distingue al científico no es qué cree, sino cómo lo cree, Bertrand Russell A history of Western Philosophy) en que no sólo no teme encontrar hechos que violen sus principios, sino que una y otra vez busca la forma de destruirlos, porque parte de un supuesto más fundamental, una firme creencia, un dogma al fin y al cabo: que la realidad tiene una estructura lógica; y que, por lo tanto, encontrará otro principio más general, más firme que él que acaba de demoler, y el árbol del conocimiento no se derrumbará sobre su cabeza. Esta posición arranca tal vez de Hegel, para quien “todo lo real es racional y todo lo racional es real”, y lleva a una actitud condensada en la expresión de Einstein: “La propiedad que más me maravilla del universo, es su comprensibilidad”. Einstein estaba convencido de que la solución de todo problema, por más oscuro que parezca por el momento, será eventualmente explicado, y el conocimiento obtenido será integrado en el árbol del saber. Pero esa creencia es, en sí, un dogma hegeliano.
¿Existen creaciones matemáticas que no tengan aplicación en algún campo de la física/ciencia?
Esta pregunta que fue formulada por Neuenschwander, hace unos años, en una prestigiosa revista de física (American Journal of Physics) no encontró ninguna respuesta afirmativa. La historia de la ciencia muestra que las matemáticas han encontrado siempre inesperadas aplicaciones en física, como por ejemplo la teoría de grupos o las geometrías de Riemann. Se propuso en el contexto de esa revista que no existe un solo elemento matemático sin una posible aplicación en el campo de la física y se dio un soporte racional de la misma recurriendo a los fundamentos epistemológicos de ambas disciplinas.
La relación entre física y matemáticas ha dejado perplejos a muchos científicos a lo largo del tiempo, tal como hemos visto en el caso de Wigner. ¿Cómo es posible que manipulaciones matemáticas produzcan números que coincidan con los resultados de un experimento hasta la décimo primera cifra decimal? Esta afirmación resulta misteriosa si consideramos que las matemáticas son una creación humana. Si ellas son una invención de nuestra mente, no hay una clara razón de porqué deberían suministrar una descripción tan precisa de la realidad física que existe objetivamente fuera de nosotros y que descubrimos en nuestra indagación científica.
Podemos discutir dos posibilidades extremas para entender la relación tan próxima entre matemáticas y física: o bien ambas son inventadas o ambas son descubiertas. En ambos casos, la física y las matemáticas tienen un carácter epistemológico común y, por tanto, la perfecta correspondencia entre ambas deja de ser un rompecabezas sorprendente. Sin embargo, la primera respuesta sería aceptada por la mayoría de los científicos en relación con las matemáticas, pero una gran mayoría rechazaría la idea de que la realidad física es un constructo de nuestras mentes. Aunque esta posición se puede defender sobre bases lógicas, es rechazada por los más prestigiosos científicos porque en el fondo conduce a un profundo solipsismo. Por lo tanto, pasamos al segundo caso, donde postulamos la existencia objetiva de la realidad física que podemos conocer por medio de un sutil juego entre teoría y experimento. Dentro de esta postura, debemos aceptar que las matemáticas tienen también sus raíces en el mundo exterior; esto es, los números existen en nuestras mentes porque hay cosas en la realidad que se pueden numerar. Así, la teoría de grupos, por ejemplo, es una reflexión mental sobre relaciones y estructuras existentes en el mundo. Según esta visión, las matemáticas no son materia de ángeles sino que pertenecen a los seres humanos presentes en un mundo real. Una mente pura situada en un espacio de cero dimensiones nunca habría desarrollado el teorema de Pitágoras. Si consideramos que el razonamiento matemático es producido por nuestro cerebro y que, en última instancia, el cerebro está formado por partículas que obedecen las leyes de la física entonces es plausible que los conceptos matemáticos tengan alguna coherencia con el mundo de la física y posean una base materialista común.
El problema de la base empírica de las matemáticas involucra varias ideas conflictivas como: el empirismo elemental de D´Alembert, para quien las matemáticas derivan de la percepción de los sentidos, la visión kantiana de las matemáticas como un conjunto de juicios sintéticos a priori, o las consideraciones platónicas de Hilbert como una armonía preestablecida entre naturaleza y matemáticas. Estas posturas han sido sobrepasadas por el constructivismo gnoseológico de Piaget basado en estudios profundos sobre el proceso simultáneo de desarrollo y aprendizaje de los conceptos físicos y matemáticos.
Una famosa anécdota sobre si toda creación matemática encontrará alguna aplicación en la ciencia, es la que se cuenta de Sir James Jeans, un físico eminente, y Oswald Veblen, un matemático, cuando estaban planificando el plan de estudios de matemáticas para la Universidad de Princeton. Jeans sugirió suprimir del mismo la teoría de grupos ya que no tendría nunca ninguna aplicación en física. Esta anécdota ocurrida en 1910 fue relatada por el Profesor Freeman Dyson en un artículo escrito en la revista Scientific American (sep. 1964); un artículo fascinante sobre las matemáticas en las ciencias físicas.
Posturas sobre la relación matemática con el mundo
Definiendo las matemáticas. “Las matemáticas se pueden definir como la disciplina donde nunca sabemos de lo que hablamos, ni si lo que estamos diciendo es verdad”, es un famoso dicho de Bertran Russell. [B. Russell Mathematics and the Metaphysicians, in Mysticism and Logic, George Allen and Unwin, London 1917] y Poincaré dijo que “las matemáticas son un lenguaje en el que no pueden expresarse pensamientos imprecisos o nebulosos”.
La postura naturalista sostiene que las matemáticas son un lenguaje que sólo se diferencia de otros (como el inglés o el alemán) en dos aspectos, su simplicidad y su falta de ambigüedad. La simplicidad, se debe a que ha sido creado para describir los elementos más simples de estructuras o formas complejas: primariamente magnitudes y relaciones. Cada entidad matemática se refiere a un aspecto sencillo de algo muy complejo, en contraste con el inglés, donde una palabra se refiere a estructuras / figuras muy complejas (como “árbol” o “teorema”). La falta de ambigüedad se debe a que cualquier término que se use en matemáticas se define con absoluta precisión, no dejando ningún resquicio a distintas interpretaciones.
En la ciencia, y en las matemáticas en particular, algunos algoritmos parecen tener un interés mágico. Parecen tener ellos mismos, por así decirlo, la capacidad de resolver problemas o crear accesos a nuevas perspectivas. Lo que al principio parecían meras herramientas diseñadas para propósitos específicos pueden tener usos nuevos e inesperados.
(Dorato) Viendo las matemáticas como un tipo más de lenguaje, entonces, el problema de su aplicabilidad es un capítulo de una teoría generalizada de la semántica. El lenguaje ordinario tiene éxito en describir, predecir y explicar muchas propiedades de los objetos ordinarios: las matemáticas es una sofisticación de estas habilidades, ya que en relación con los lenguajes naturales, es más riguroso, menos ambiguo y formalmente organizado. La gramática generativa de Chomsky y la visión computacional del pensamiento humano de Fodor, apoyarían esta postura: las matemáticas compartirían con el lenguaje y el pensamiento, además de su naturaleza algorítmica, las propiedades de productividad y sistematicidad.
La principal dificultad de esta postura reside en la dificultad de encontrar correlatos reales de muchos entes o conceptos matemáticos. Aunque, si es verdad y se puede demostrar empíricamente, que cualquier matemática que se cree se la acaba encontrando alguna aplicación en las ciencias, esta dificultad se podría soslayar.
La explicación de John Barrow a la aplicabilidad de las matemáticas es que:
“La ciencia existe porque el mundo natural se presenta como algorítmicamente comprimible. Las fórmulas matemáticas que llamamos leyes son reducciones económicas de enormes secuencias de datos que expresan cambios de estado del mundo: esto es lo que queremos significar por su inteligibilidad…Ya que el mundo físico es algorítmicamente comprimible, las matemáticas son útiles para describirlo porque es el lenguaje de la simplificación de secuencias. La mente humana nos permite tomar contacto con ese mundo porque nuestro cerebro tiene la capacidad de comprimir secuencias complejas de datos sensoriales en otras más abreviadas. Tales simplificaciones hacen posible el pensamiento y la memoria. Los límites naturales de nuestros sentidos nos impiden sobrecargar nuestros cerebros con información sobre el mundo. Tales límites son puertas de seguridad de nuestras mentes.”
“Las matemáticas son como la lógica de la física” Leibniz Carta a Frederic Schrader, 1681)
“De hecho, lo quiera uno o no, toda pedagogía matemática, incluso si es escasamente coherente, se basa en una filosofía de las matemáticas”, como ha dicho René Thom. Tales temas son recurrentes en PME, lo que no es sorprendente, Piaget que es el padrino del PME, desarrolló probablemente la más importante teoría psicológica del desarrollo. Pero no sólo la teoría y práctica de la enseñanza y el aprendizaje descansa en una epistemología, sino que también lo hace la enseñanza y práctica de la investigación.
Introducir consideraciones epistemológicas en una discusión siempre ha sido pura dinamita. Lo hizo Sócrates, y enseguida le dieron a beber cicuta, lo hizo Vico en el siglo XVIII, y al establecimiento filosófico le faltó tiempo para enterrarlo.
Según el pitagorismo la esencia del mundo físico es matemática. Creían que el número natural era el fundamento de toda la realidad material, en parte porque los números pueden representarse por medio de figuras. En su forma moderna el pitagorismo consiste en afirmar que la estructura de la realidad física (partículas, campos, espacio-tiempo, etc.) es idénticamente matemática. Las matemáticas no son una descripción de la realidad por medio de símbolos, son la expresión misma de la estructura de la realidad, el lenguaje mismo de lo real. Esta concepción debe afrontar las siguientes críticas: ¿no se está confundiendo la realidad con su descripción, el símbolo con la realidad que representa? ¿Cómo dar un sentido preciso al concepto de estructura de la realidad en sí misma, independientemente del observador? En esta concepción, la eficacia de las matemáticas no plantea ningún problema, es automática.
En la visión empirista, el modelado de las regularidades que se observan constituye el motor del desarrollo matemático, y por lo tanto las matemáticas son unas formas extraídas de la naturaleza fenoménica. El problema fundamental de esta concepción es que no explica cómo es posible que un cierto número de conceptos de las matemáticas contemporáneas se hayan desarrollado sin conexión aparente y directa con las ciencias de la naturaleza (por ejemplo la noción de categoría). En un tal contexto, la eficacia de las matemáticas se explica por el hecho de guardar siempre una relación más o menos directa con descripciones de fenómenos.
Para los formalistas las matemáticas son simplemente un juego con símbolos. Este punto de vista ignora que los matemáticos no construyen sus símbolos de manera arbitraria, sino guiados por lógicas conceptuales internas o por resultados obtenidos en las ciencias de la naturaleza. La actividad matemática no puede residir exclusivamente en la sintaxis, sino que esta actividad transmite continuamente sentidos e interpretaciones; pues como Hourya Sinaceur ha demostrado claramente, la práctica matemática se basa en un constante ir y venir entre los sistemas axiomáticos y los modelos que los interpretan. Esta concepción no permite comprender claramente porqué las matemáticas se aplican y son eficaces, ¿cómo explicar que los resultados, obtenidos a partir de un juego de sociedad con reglas arbitrariamente definidas, pueda darnos la masa del electrón hasta la vigésima quinta cifra decimal? El logicismo, también pretende deducir todas las matemáticas a conceptos puramente lógicos. En realidad, son mucho más ricas que la lógica que no es el fundamento último de aquellas sino solamente una de sus ramas.
Dentro del idealismo trascendental las matemáticas no son una ciencia que engendra conceptos, sino que es la ciencia de la representación de los conceptos en las formas de espacio y tiempo que todos los sujetos cognoscentes (aspecto trascendental) poseen a priori para percibir el mundo. EL espacio da origen a la geometría y el tiempo, con su sucesión de instantes, da lugar al número y a la aritmética. Como todo fenómeno es percibido por el sujeto cognoscente en formas espacio temporales, es inmediatamente matematizable. La eficacia de las matemáticas es intrínseca a la propia concepción. Uno delos límites …
En lugar de la evolución lamarckiana de las ideas sugerida por S. Weinberg (que puede ser como la ciencia y la civilización se desarrolla pero que no afecta al genoma), otros han sugerido que la evolución darwiniana ha seleccionado, en sus eones de experimentación, aquellos animales cuyas mentes operan de acuerdo con las leyes con que el mundo funciona. Mark Steiner, en su libro “La Aplicabilidad de las Matemáticas como Problema Filosófico”, rechaza una explicación evolutiva porque implicaría que son los propios conceptos matemáticos los que han evolucionado en el cerebro humano. No tenemos que recurrir a la explicación mística de Penrose, en “La Nueva Mente del Emperador”, que se basa en la creencia de la profunda armonía matemática de la Naturaleza.
El polimorfismo matemático de la física
Se refiere a que cada ley y concepto se puede expresar por varias matematizaciones, lo que rechaza la interpretación platónica de la conexión entre matemáticas y física. Dinámica clásica puede formularse: por medio de ecuaciones diferenciales (Newton) -trayectorias-, ecuaciones en derivadas parciales (Hamilton) -leyes de conservación-, ecuaciones variacionales (Lagrange). La formulación local del electromagnetismo (ecuaciones diferenciales del campo) y expresiones globales (Gauss o Ampere). Esta es la razón de porqué la física en contraste con las matemáticas, no se puede formalizar fácilmente. Cada una de estas formulaciones conlleva un complejo conjunto de representaciones mentales, están asociadas con específicas visiones del mundo y son preferidas por diversas escuelas. Es más interesante estudiar las implicaciones teleológicas y teológicas de los principios variacionales de Maupertius a Feynman. La preferencia de Einstein por la formulación geométrica de la física le ayudó a descubrir la relatividad general, mientras que fue un obstáculo para aceptar la teoría cuántica.
[Dieks] El hecho de que la misma situación física se puede describir en una variedad de formas matemáticas se ha subrayado como una propiedad de la matemática, su flexibilidad. Las herramientas matemáticas son tan abundantes que investigadores con diferentes visiones y gustos pueden encontrar una forma distinta de abordar un problema. Inversamente, como las matemáticas son empíricamente vacías, la misma técnica matemática y resultado se puede aplicar a una amplia variedad de situaciones físicas; se pueden obtener nuevas informaciones a bajo costo, sin mas que trasladar viejos resultados a nuevos contextos. La efectividad de las matemáticas se presenta como una propiedad intrínseca de las mismas: por su flexibilidad aplicativa en cualquier sitio donde reina algún tipo de orden y por su adaptabilidad a las preferencias del investigador, se ha señalado como la razón más probable de su eficacia en las ciencias.
Los argumentos de indispensabilidad en la filosofía de las matemáticas. Como hemos visto uno de los hechos más intrigantes de las matemáticas es su aplicabilidad a las ciencias empíricas. No sólo sirven de ayuda para hacer predicciones empíricas, sino que también permiten la formulación elegante / estética y económica de las afirmaciones de las teorías científicas. Realmente es tan importante el lenguaje matemático en la ciencia, que es difícil imaginarse cómo algunas teorías como la mecánica cuántica y la relatividad general se podrían formular sin emplear una cantidad substancial de matemáticas.
A partir de este notable pero incontrovertible hecho, de que las matemáticas son indispensables para la ciencia, algunos filósofos han extraído conclusiones metafísicas. Particularmente Quine y Putnam han defendido que esta indispensabilidad proporciona buenas razones para creer en la existencia de las entidades matemáticas. Proceder de otra manera sería ser intelectualmente deshonesto, como ha dicho Putnam. Las entidades matemáticas se colocan en un plano de igualdad con las otras entidades teóricas de la ciencia y, ya que creer en la existencia de éstas está justificada por la misma evidencia que confirma la teoría como un todo, por lo tanto se debe creer también en la existencia de las primeras. Esta afirmación se conoce como el argumento de Quine-Putnam de indispensabilidad de las matemáticas para fundamentar el realismo matemático.
La respuesta de Hartry Field (1980) al argumento de Quine es que la matemática es dispensable en nuestras mejores teorías físicas …
Una visión que ha ganado terreno en la última década ha sido el estructuralismo (Resnik M. 1997 Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press); Shapiro S. 1997 Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press). Según esta teoría existen estructuras subyacentes que pueden ser comunes tanto al mundo físico como a los sistemas matemáticos. Una secuencia infinita de estrellas tiene la misma estructura que una secuencia infinita de instantes de tiempo, o un conjunto infinito de palotes. Resulta fácil entender porque en este marco conceptual las matemáticas son aplicables al reino no matemático: ellas describen la estructura o forma, y la estructura está presente en el propio mundo físico. La matemática es la ciencia de las estructuras o formas; y las estructuras, no los objetos, son los elementos primarios del mundo físico de acuerdo con esta visión.
Similarmente al platonismo convencional, el estructuralismo representa una visión realista de las matemáticas. La diferencia reside en que mientras para el estructuralismo las estructuras o formas residen en el propio mundo, haciendo la matemática descriptiva, el platonismo contempla el mundo matemático trascendente, haciendo que la matemática sea representativa.
Ciencia y matemáticas: posturas de científicos y filósofos
Einstein. “At this point an enigma presents itself which in all ages has agitated inquiring minds. How can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriated to the objects of reality? Is human reason, then, without experience, merely by taking thought, able to fathom the properties of real things?
In my opinion the answer to this question is briefly this: as far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.” Esta cita está extraída de una conferencia que Einstein pronunció en la Academia de Ciencias Prusiana de Berlín el 27 de enero de 1921, cuando estaba revisando el significado de las matemáticas en la historia del pensamiento científico.
En Junio de 1933 dio las conferencias Herbert Spencer in Oxford. Al describir “El método de la Física Teórica” declaró:
“Si es verdad que la base axiomática de la FT no se puede extraer de la experiencia sino que debe ser libremente inventada, ¿tenemos alguna esperanza de encontrar el correcto camino? … Contesto sin dudar que hay, en mi opinión, un camino correcto, y que somos capaces de encontrarlo. Nuestra experiencia justifica que creamos que la naturaleza es la realización concebible más simple de ideas matemáticas. Estoy convencido de que podemos descubrir por medio de puras construcciones matemáticas los conceptos y las leyes conectando unos con otros, que proporcionan la llave para comprender los fenómenos naturales. … La experiencia sigue siendo el único criterio de la utilidad de las construcciones matemáticas. Pero el principio creativo reside en las matemáticas.”
Antes de 1920 Einstein se hubiese opuesto a esta visión, sus años jóvenes tuvo una cavalier aproximación a las matemáticas, las vio como una herramienta al servicio de la intuición física. Desconfió de la sofisticación matemática como confesó repetidamente: su disgusto por “las aproximaciones formales” y “la especulación pura” opuestas a “la física real”. Según escribió a Klein en 1917 relativamente a su tratamiento de las ecuaciones de la relatividad general:
” Me parece que sobreestimas el valor de los puntos de vista formales. Estos pueden ser valiosos cuando una verdad ya encontrada se necesita formular en su forma final, pero ellos fallan casi siempre como ayuda heurística”
Una teoría se puede comprobar con la experiencia, pero no existe un camino sencillo para ir de la experiencia a la construcción de una teoría. Ecuaciones de tal complejidad como son las ecuaciones del campo gravitacional sólo se pueden encontrar por el descubrimiento de una condición matemática lógicamente simple que determina completamente o casi las ecuaciones.
Levy-Blone. ¿es el matemático el lenguaje intrínseco de la naturaleza, que el hombre debe dominar para entenderla? O ¿es el lenguaje especial del hombre en el que los hechos de la naturaleza deben ser traducidos con el objeto de que los podamos aprehender? La primera actitud sería la de Galileo y Einstein -la naturaleza es la realización de las ideas matemáticas más sencillas- y la segunda la de Heisenberg -Las fórmulas matemáticas no representan la naturaleza, sino solamente nuestro conocimiento de la misma-. Estas dos actitudes son las posiciones extremas de un continuo espectro de opiniones.
Sería casi imposible encontrar un concepto físico que no esté indisolublemente asociado a uno o varios conceptos matemáticos (velocidad-derivada, EMF-vectores, relatividad-teoría de grupos, MC operadores auto-adjuntos en espacio de Hilbert). Para Bachelard, las matemáticas es una forma de pensar. El físico experimenta la naturaleza por medio de esta forma de pensar. EL matematismo no es descriptivo, sino constitutivo.
DESCARTES Y SU SUEÑO.¿Qué idea pudo ver Descartes en aquel fogonazo abrasador de su tercer sueño? Él mismo nos dice que su tercer sueño señalaba nada menos que a la unificación e iluminación de la ciencia toda, e incluso de la totalidad del conocimiento, merced a un mismo y único método: el método de la razón. Las matemáticas dijo Descartes, son cosa de la mente. Sus verdades, deducidas como están de hipótesis seguras a través de una serie de pequeños pasos de la razón humana, no menos seguros, están garantizados por Dios. ¿Por qué habría la mente de bloquearse a sí misma? Si la mente concibe un problema, tendrá igualmente que revelar la senda por la cual habrá de encontrarse la solución. El cartesianismo exige la primacía de la matematización del mundo.
“Las largas cadenas de razones simples y fáciles, por medio de las cuales generalmente los geómetras llegan a alcanzar las demostraciones más difíciles, me habían proporcionado la ocasión de imaginar que todas las cosas que pueden ser objeto del conocimiento de los hombres se entrelazan de igual forma” René Descartes, Discurso del método
HEGEL. Limita el significado de la ciencia newtoniana mostrando que la descripción matemática está restringida a las situaciones más triviales. La mecánica se puede matematizar porque atribuye solamente propiedades espacio-temporales a la materia.
Heidegger. La ciencia tanto la antigua, la medieval y la moderna: mide, experimenta y trabaja con conceptos para aprender. La moderna se diferencia por su manera de medir, experimentar y conceptualizar. Se diferencia por su proyección matemática; MATEMÁTICA no significa meramente lo que tiene que ver con los números, sino la forma en que se aprende algo. Significa lo que el sujeto lleva a las cosas cuando aprende. Proyección significa las suposiciones fundamentales y expectativas anticipatorias con respecto a la cosa. La ciencia moderna está basada en la voluntad de axiomatizar el conocimiento. Las matemáticas en el sentido estrecho es una respuesta, y no su fundamento, a esta voluntad por axiomatizar el conocimiento.
Historia del problema. “Si se reclama un estado superior para las matemáticas, y si además se le atribuye un valor real y una posición dominante dentro de la física se es platónico” KOYRÉ.
El filósofo pitagórico de la naturaleza cree que las relaciones matemáticas a las que se ajustan los fenómenos constituyen explicaciones de por qué las cosas son como son. El punto de vista rival establecido por Gémino en el siglo I a. C. es el de que las hipótesis matemáticas deben distinguirse de las teorías sobre la estructura del universo. Según esta concepción, una cosa es “salvar las apariencias” superponiendo relaciones matemáticas a los fenómenos, y otra cosa muy distinta explicar por qué los fenómenos son como son. Quedó para el cardenal Bellarmine y Galileo el sentar las posiciones rivales con la máxima intensidad. El cardenal Bellarmine informó a Galileo en 1615 que era permisible, desde el punto de vista de la Iglesia, discutir el sistema copernicano como un modelo matemático para salvar las apariencias, y afirmar que era mejor a este respecto que el sistema tolemaico. Fue de gran importancia para el posterior desarrollo de la ciencia el que Galileo, que no consideraba la hipótesis heliocéntrica como un mero recurso para el cálculo cuya finalidad fuese salvar las apariencias, complementase su compromiso pitagórico con la convicción de que, mediante experimentos adecuadamente elegidos, puede establecerse la existencia de armonías matemáticas en el universo.
Veamos que hace que el método matemático de Newton aparezca como una explicación causal satisfactoria a los ojos de sus contemporáneos, e incluso a los que aceptaban el ideal de Aristóteles, donde existen prescripciones muy estrictas para que una explicación causal sea aceptable. Newton quebró el requerimiento de inteligibilidad, por el que en una buena explicación lo menos conocido debe explicarse en función de lo mejor conocido. Newton invirtió este requerimiento, y es el primero con quien aparecen entidades teóricas genuinas (p. e. la fuerza de gravedad) por primera vez en física. Estas entidades están ausentes en la física de Galileo.
Newton. La explicación científica significa, según la metodología de Aristóteles, encontrar una causa de porque cierta forma pertenece a una sustancia, es decir porque un predicado tiene que ser atribuido a un sujeto. Las causas son de nuevo formas que figuran como términos medios en el silogismo categórico que era la forma canónica de las explicaciones causales. Una inferencia que va de la causa al efecto es llamado síntesis, explicación propter quid (Objetos cerca de la tierra no parpadean / Los planetas están cerca de la tierra / Los planetas no parpadean). Hay otro tipo de inferencia, complementaria o demostración quia, el análisis se mueve del efecto a su causa (la conclusión del silogismo) (Los objetos que no parpadean están cerca de la tierra / Los planetas no parpadean / Los planetas están cerca de la tierra).
La característica principal del silogismo demostrativo de Aristóteles es que establece una conexión conceptual entre causa y efecto, la explicación newtoniana establece (y está basada) en una conexión matemática (en la forma de una ecuación algebraica) entre los aspectos cuantitativos del explanandum y el explanans. Newton también cambia el estado epistemológico de causa y efecto. Anteriormente ambos se consideraban observables, aunque su orden de conocimiento puede ser diferente. Newton estaba buscando las causas, lo que está detrás de los fenómenos pero producen los efectos observables.
El uso que Newton hace de las matemáticas es diferente del que hicieron Descartes y Galileo. Newton fue el primero en usar el álgebra, en lugar de la geometría y la teoría de las proporciones como Galileo, para descubrir y probar conexiones regulares entre los fenómenos, y fue el arts analytica = algebra lo que le permitió hacer inferencias sobre las causas que subyacen por detrás o por debajo de los fenómenos. Newton equivocadamente llamó a este tipo de inferencia inducción, aunque es mas bien transduction = inferencia a la realidad transempírica (o transdiction). Según los historiadores de las ideas, la emergencia del álgebra y del modo algebraico de pensar fue uno de los grandes acontecimientos en la historia de las matemática. Esta aparición fue necesaria para la aparición de la física matemática de Newton, opuesta a la física geométrica de Galileo. Fue con la aparición del álgebra como aparecieron objetos puramente abstractos, no intuitivos, en matemáticas. Esto contrasta con la geometría griega tradicional, que dependía de las propiedades percibidas de los objetos físicos, hasta el punto de que número (arithmos) tiene que ser un número definido de cosas determinadas.
